继续学习,今天了解下置换和转置
关键字:数学,线性代数,置换,转置,应用
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置换矩阵
置换矩阵就是行进行了交换的矩阵，我们使用P来定义置换P12代表
PA=LU 代表了支持行交换的消元计算
一个矩阵的可置换数量为它的阶乘
\(n! = n(n-1)...(3)(2)(1)\)
置换矩阵都是可逆的且
\(P^{-1} = P^{T}\)
所以 \(P^{T}P=I\)
矩阵转置
设A为m×n阶矩阵（即m行n列），第i 行j 列的元素是a(i,j)，即:
\(A = (a_{ij})_{mn}\)
把m×n矩阵A的行换成同序数的列得到一个n×m矩阵，此矩阵叫做A的转置矩阵，记做
\(A^T\)
或 \(A^{'}\)
例如矩阵
\(A=\begin{bmatrix} 1&2&0\\3&-1&4 \end{bmatrix}\)
的转置矩阵为 \(A^T=\begin{bmatrix} 1&3\\2&-1\\0&4 \end{bmatrix}\)
基本性质
矩阵的转置和加减乘除一样，也是一种运算，且满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：
$(A^T)^T = A$
$(A+B)^T = A^T + B^T$
$(kA)^T = kA^T$
$(AB)^T = B^TA^T$
扩展
设A为n阶矩阵，如果满足
\(A^T = A\)
即 \(a_{ij} = a_{ji}(i,j=1,2,3...n)\)
那么 \(A\)
称为对称矩阵
比如矩阵
\(\begin{bmatrix} 3&1&7\\1&2&9\\7&9&4 \end{bmatrix}\)
就是对称矩阵
因为我们知道
\((AB)^T = B^TA^T\)
所以可以知道 \((AA^{T})^T = AA^T\)
我们把\(AA^{T}\)
视为一个\(R\)
矩阵
所以我们可以得到一个矩阵 \(R\)
和它的转置矩阵 \(R^{T}\)
的乘积就是一个对称矩阵
A转置的逆
因为
\(AA^{-1} = I\)
所以
\((AA^{-1})^T = I^T\)
求得
\((A^{-1})^T A^T = I\)
所以 \(A\) 逆的转置就是 \(A\) 转置的逆
应用
- 生产成本的计算
- 人口流动的问题
- 希尔加密算法