时间过得飞快，必须强迫自己学习。今天继续学A的LU分解 关键字: 数学,线性代数
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AB乘积的逆
假设A、B都可逆则有 $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = I$ 即 $B^{-1}A^{-1}$ 为 $AB$ 乘积的逆
同理可知 $(B^{-1}A^{-1})(AB) = I$
A=LU总消元公式
A通过消元得到U，通过这种方式来审视高斯消元
2*2矩阵例子
$A = \begin{bmatrix} 2&1\8&7 \end{bmatrix}$ 我们需要使用一个初等函数 $E_{21} = \begin{bmatrix} 1&0\-4&1 \end{bmatrix}$ 来消元 $A$ 从而得到 $U = \begin{bmatrix} 2&1\0&3 \end{bmatrix}$
如果要得到 $A=LU$ 中的 $L$ 我们需要两边同时乘以 $(E_{21})^{-1}$
即 $A = (E_{21})^{-1}U$ 则 $(E_{21})^{-1}$ 即为我们要求的 $L$
3*3矩阵例子
$A = \begin{bmatrix} 2&1&3\8&7&5\4&8&6 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 1&0&0\4&1&0\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&1&3\0&3&-7\4&8&6 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 1&0&0\4&1&0\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\0&1&0\2&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&1&3\0&3&-7\0&6&0 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 1&0&0\4&1&0\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\0&1&0\2&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\0&1&0\0&2&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&1&3\0&3&-7\0&0&14 \end{bmatrix}$
所以综上求得
$U=\begin{bmatrix} 2&1&3\0&3&-7\0&0&14 \end{bmatrix}$
$L= (\begin{bmatrix} 1&0&0\4&0&0\0&0&0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0&0\0&1&0\0&0&0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0&0\0&0&0\2&0&1 \end{bmatrix}) \begin{bmatrix} 1&0&0\0&1&0\0&2&1 \end{bmatrix}$
$L= \begin{bmatrix} 1&0&0\4&1&0\2&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\0&1&0\0&2&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0\4&0&0\2&0&0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0&0\0&1&0\0&0&0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0&0\0&0&0\0&2&1 \end{bmatrix} $
$L= \begin{bmatrix} 1&0&0\4&1&0\2&2&1 \end{bmatrix}$
验算
我们可以使用列乘行解法进行验算上面的 3*3 例子的 $L$
$ \begin{bmatrix} 1&0&0\4&1&0\2&2&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&1&3\0&3&-7\0&0&14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&1&3\8&4&12\4&2&6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0&0\0&3&-7\0&6&-14 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0&0\0&0&0\0&0&14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&1&3\8&7&5\4&8&6 \end{bmatrix} $
验算通过
总结规律
规律一 消元公式 $E_{32}E_{31}E_{21}A = U$ 可以变幻为 $A = (E_{21})^{-1}(E_{31})^{-1}(E_{32})^{-1}U$
之所以使用 $A=LU$ 的公式，是因为初级矩阵的逆可以通过消元被倍数直接得到
比如上面的例子中
$A = \begin{bmatrix} 2&1&3\8&7&5\4&8&6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0\4&1&0\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&1&3\0&3&-7\4&8&6 \end{bmatrix}$
$(E_{21})^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0\4&1&0\0&0&1 \end{bmatrix}$
我们通过行1的4倍消除第二行第一个元素，只需要在这个位置填入倍数即可。
规律二
同时我们可以发现 U 和 L 的结构如下
$ U = \begin{bmatrix} 1&n_{12}&n_{13}\0&1&n_{23}\0&0&1 \end{bmatrix} $
$ L = \begin{bmatrix} 1&0&0\n_{21}&1&0\n_{31}&n_{32}&1 \end{bmatrix} $