相隔了一个月才继续学习数学，真是有点惭愧。但是终归安排出时间继续了:smile:，今天一起学习下乘法和逆矩阵 关键字:线性代数,数学
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矩阵乘法
什么情况下矩阵可以相乘?
- 矩阵不一定需要方阵
- 矩阵$a_{mn}$ 与 矩阵$b_{np}$ 的乘积，$a$ 的列 $n$ 必须要与 $b$ 的行 $n$ 相等，得到的新矩阵为 $c_{mp}$
如何求出矩阵中的某一点$C_{ij}$
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点乘法
$ c_{ij} = a.Rowi * b.Colj = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + a_{31}b_{4j} + ... = \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} $
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列（矩阵乘以向量）的解法
可以查阅上一节的知识 矩阵 $A * B = C$ 中的 $C$ 实际上是 $A$ 列的线性组合
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行（向量乘以矩阵）的解法
同上，我们也可以将 $C$ 的行看成 $B$ 行的线性组合
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列乘行解法
矩阵 $AB = SUM(A.Col * B.Row)$ 举例来说
$ \begin{bmatrix} 2&7\3&8\4&9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&6\0&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\3\4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7\8\9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2&12\3&18\4&24 \end{bmatrix} $
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分块乘法
$ \begin{bmatrix} A_{1}&A_{2}\A_{3}&A_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{1}&B_{2}\B_{3}&B_{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{1}B_{1}+A_{2}B_{3}&A_{1}B_{2}+A_{2}B_{4}\ A_{3}B_{1}+A_{4}B_{3}&A_{3}B_{2}+A_{4}B_{4} \end{bmatrix} $
其中$A_{1}$可以视为一个更小的矩阵
逆矩阵
- 不是所有矩阵都有逆
- 可逆矩阵也成为非奇异矩阵
- 对于一个存在逆的矩阵而言，它的左逆阵等于右逆阵（只在方阵情况下生效）
奇异矩阵
假设一个向量 $x \neq 0$ ，和一个方阵 $A$ 使 $Ax = 0$，那这个 $A$ 不可逆 因为我们上面了解到，方阵的左逆阵等于右逆阵，所以当向量$x$存在于一个方阵中与 $A$ 可逆的话，只有 $X=0$ 才有可能但是这种情况是与命题不符的，举例
$ AX=\begin{bmatrix} 1&3\2&6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3\-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\0 \end{bmatrix} $
高斯若尔丹(Gauss-Jordan)消元法
$E[AI]=[IA^{-1}]$
- 举例如下
$ \begin{bmatrix} 1&3\2&7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A^{-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0\0&1 \end{bmatrix} $
- 我们要求逆$A^{-1}$可以使用增广矩阵进行消元
$ \begin{bmatrix} 1&3&|&1&0\2&7&|&0&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&3&|&1&0\0&1&|&-2&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&|&7&-3\0&1&|&-2&1 \end{bmatrix} $
- 所以最终求出逆矩阵
$ A^{-1} = \begin{bmatrix} &7&-3\&-2&1 \end{bmatrix} $
- 代入验算通过 :sunglasses:
$ \begin{bmatrix} 1&3\2&7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &7&-3\&-2&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0\0&1 \end{bmatrix} $